已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\pi -\omega x\right)\cos \omega x+{\cos }^2\omega x\left(\omega >0\right)$的最小正周期为 $\pi$.
（Ⅰ）求 $\omega$的值.
（Ⅱ)将函数 $y=f\left(x\right)$的图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图像，求函数 $g\left(x\right)$在区间 $\left[0,\frac{\pi }{16}\right]$上的最小值。