已知曲线Cn:ynx2,点Pnxn,ynxn<0,yn<0是

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知曲线 $C_{n} : y = n x^{2}$ ,点 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (x_{n} > 0, y_{n} > 0)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n = 1, 2, \dots)$ .
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在点 $P_{n}$ 处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O (0, 0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求试点 $P_{n}$ $(x_{n}, y_{n})$ ；
（3）设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数， $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，证明： $\sum_{n = 1}^{s} |\sqrt{\frac{(m + 1) x_{n}}{2}} - \sqrt{(k + 1) y_{k}}| < |\sqrt{m s} - \sqrt{k s}| (s = 1, 2, \dots)$

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