已知函数 $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x}+c(a>0)$的图象在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程为 $y=x-1$.

(I)用 $a$表示出 $b,c$;

(II)若 $f\left(x\right)\ge \ln x$在 $[1,+\infty )$上恒成立，求 $a$的取值范围；

(III)证明： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\ln (n+1)+\frac{n}{2(n+1)}(n\ge 1)$.