已知函数 f ( x ) = l n x - a x + 1 - a x - 1 ( a ∈ R ) . (Ⅰ)当 a ≤ 1 2 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x ) = x 2 - 2 b x + 4 当 a = 1 4 时,若对任意 x 1 ∈ ( 0 , 2 ) ,存在 x 2 ∈ [ 1 , 2 ] ,使 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ,求实数 b 取值范围.
某校为了解毕业班学业水平考试学生的数学考试情况, 抽取了该校100名学生的数学成绩, 将所有数据整理后, 画出了样频率分布直方图(所图所示), 若第1组、第9组的频率各为. (Ⅰ) 求的值, 并估计这次学业水平考试数学成绩的平均数; (Ⅱ)若全校有1500名学生参加了此次考试,估计成绩在分内的人数.
如图,在三棱锥P-ABC中, AB="AC=4," D、E、F分别为PA、PC、BC的中点, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF. (Ⅰ)求证:BE⊥平面PAF; (Ⅱ)求直线AB与平面PAF所成的角.
已知函数的图像上两相邻最高点的坐标分别为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)在△ABC中,分别是角A,B,C的对边,且求的取值范围.
已知函数,其中为正常数. (Ⅰ)求函数在上的最大值; (Ⅱ)设数列满足:,, (1)求数列的通项公式; (2)证明:对任意的,; (Ⅲ)证明:.
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B两点,当△AOB面积取得最大值时, 求直线的方程.