如图某海滨城市为圆形区域，半径为，中心有某文化遗迹，在该城市_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图某海滨城市为圆形区域，半径为，中心有某文化遗迹，在该城市附近的海面上正在形成台风，据气象部门监测，目前台风中心位于文化遗迹的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆形区域，且观测完成时，它正在形成,并它将以的速度不断增大.
（I）该文化遗迹，是否会受到台风的侵袭.如果会受到侵袭，会在几小时后？
（II）在几小时后，该城市开始受到台风侵袭，会历经多长时间？

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已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．

（1）当 $a = e$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

题型：未知
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如图，四棱锥 P- ABCD的底面为正方形， PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l．

（1）证明： l⊥平面 PDC；

（2）已知 PD= AD=1， Q为 l上的点，求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值．

题型：未知
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为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $PM 2 . 5$ 和 $S O_{2}$ 浓度（单位： $μ g/ m^{3}$ ），得下表：

$S O_{2}$ $PM 2 . 5$	$[0, 50]$	$(50, 150]$	$(150, 475]$
$[0, 35]$	32	18	4
$(35, 75]$	6	8	12
$(75, 115]$	3	7	10

（1）估计事件"该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度不超过 $75$ ，且 $S O_{2}$ 浓度不超过 $150$ "的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

$S O_{2}$

$PM 2 . 5$

$[0, 150]$

$(150, 475]$

$[0, 75]$

$(75, 115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99 %$ 的把握认为该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度与 $S O_{2}$ 浓度有关？

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} > K)$	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

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已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 ${b_{m}}$ 的前 $100$ 项和 $S_{100}$ ．

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在① $ac = \sqrt{3}$ ，② $c \sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 $△ ABC$ ，它的内角的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A = \sqrt{3} \sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

题型：未知
难度：未知

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