（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足：（为常数，且）．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）

已知数列的前n项和满足：（为常数，且）．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为. 求证：．

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某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 $y$ (单位：元)关于当天需求量 $n$ （单位：枝， $n \in N$ ）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量 $n$	14	15	16	17	18	19	20
频数	10	20	16	16	15	13	10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

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已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ , $B$ , $C$ 的对边， $c = \sqrt{3} a \sin C - c \sin A$ .
(Ⅰ)求 $A$ ；
(Ⅱ)若 $a = 2$ , $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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设集合 $P_{n} = {1, 2, . . ., n}, n \in N^{*}$ ．记 $f (n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：
① $A \subset P_{n}$ ；②若 $x \in A$ ，则 $2 x \notin A$ ；③若 $x \in C_{P_{x}} A$ ，则 $2 x \notin C_{P_{x}} A$ .
（1）求 $f (4)$ ；
（2）求 $f (n)$ 的解析式（用 $n$ 表示）．

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设 $ζ$ 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， $ζ = 0$ ；当两条棱平行时， $ζ$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $ζ = 1$ ．
（1）求概率 $P (ζ = 0)$ ；
（2）求 $ζ$ 的分布列，并求其数学期望

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已知实数 $x, y$ 满足： $|x + y| < \frac{1}{3}, |2 x - y| < \frac{1}{6}$ ，

求证： $|y| < \frac{5}{16}$ ．

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