某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；
（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间上的频率分布直方图;
（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在中的个体数为,求的分布列和数学期望．

分组	频数	频率
	①	②
		0．050
		0．200
	36	0．300
		0．275
	12	③
		0．050
合计	④

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已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{matrix} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{matrix}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和．

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为 $F$ ，且 $| OA | = | OF |$ ，其中 $O$ 为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$ 满足 $3 \vec{OC} = \vec{OF}$ ，点 $B$ 在椭圆上（ $B$ 异于椭圆的顶点），直线 $AB$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切于点 $P$ ，且 $P$ 为线段 $AB$ 的中点．求直线 $AB$ 的方程．

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（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $AB$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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在 $△ ABC$ 中，角所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．

（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

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已知 $1 < a \leq 2$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在 $(0 ， + \infty)$ 上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a - 1} \leq x_{0} \leq \sqrt{2 (a - 1)}$ ；

（ⅱ） $x_{0} f (e^{x_{0}}) \geq (e - 1) (a - 1) a$ ．

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