(本小题满分12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n()个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:(1)写出a1,a2,a3,并求出an;(2)记,求和();(其中表示所有的积的和)(3)证明:.
(本小题满分14分)已知数列中,,,2,3,…(Ⅰ)求证数列是等差数列;(Ⅱ)试比较的大小;(Ⅲ)求正整数,使得对于任意的正整数恒成立.
(本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间、极大值和极小值.(Ⅱ)若时,恒有,求实数的取值范围.
(本小题满分13分)已知等差数列的前项和为,已知.(Ⅰ)求通项;(Ⅱ)记数列的前项和为,数列的前项和为,求证:.
(本小题满分13分)如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为四周空白的宽度为,两栏之间的中缝空白宽度为,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求的值和函数的最小正周期;(Ⅱ)求的单调递减区间及最大值,并指出相应的的取值集合.