如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．（1）当时，求直

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，在三棱锥中，，，
点分别是的中点，底面．
（1）当时，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）当取何值时，在平面内的射影恰好为△的重心？

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已知抛物线 $y = x^{2}$ 和三个点 $M (x_{0}, y_{0}), P (0, y_{0}), N (- x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq {x_{0}}^{2}, y_{0} > 0)$ ，过点 $M$ 的一条直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点， $A P$ 、 $B P$ 的延长线分别交曲线 $C$ 于 $E$ 、 $F$ ．

（1）证明 $E 、 F 、 N$ 三点共线；
（2）如果 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 四点共线，问：是否存在 $y_{0}$ ，使以线段 $A B$ 为直径的圆与抛物线有异于 $A$ 、 $B$ 的交点？如果存在，求出 $y_{0}$ 的取值范围，并求出该交点到直线 $A B$ 的距离；若不存在，请说明理由．

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} a x^{3} - a^{2} x^{2} + a^{4} (a > 0)$

（1）求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $y = f (x)$ 的图像与直线 $y = 1$ 恰有两个交点，求 $a$ 的取值范围．

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如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 的平面与侧棱 $O A, O B, O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ ．

（1）求证： $B_{1} C_{1}$ ⊥面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小．

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等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列, $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64$ , $b_{3} S_{3} = 960$ ．
(1)求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)求和： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + . . . + \frac{1}{S_{n}}$ ．

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因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

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