(本小题满分12分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为,且各局胜负相互独立. 求:(I)打满3局比赛还未停止的概率;(II)比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
复数,若,求的值.
已知函数,,且点处取得极值. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围; (Ⅲ)证明:.
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆右焦点,且 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线:与椭圆相交于,两点(都不是顶点),且以为直径 的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点、的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点. (Ⅰ)求点、的坐标; (Ⅱ)求动点的轨迹方程.
如图,将边长为2,有一个锐角为60°的菱形,沿着较短的对角线对折,使得,为的中点. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求三棱锥的体积; (Ⅲ)求二面角的余弦值.