正定中学组织东西两校学生，利用周日时间去希望小学参加献爱心活_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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正定中学组织东西两校学生，利用周日时间去希望小学参加献爱心活动，东西两校均至少有1名同学参加。已知东校区的每位同学往返车费是3元，
每人可为5名小学生服务；西校区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位小学
生服务。如果要求西校区参加活动的同学比东校区的同学至少多1人，且两校区同
学去希望小学的往返总车费不超过37元。怎样安排东西两校参与活动同学的人数，
才能使受到服务的小学生最多?受到服务的小学生最多是多少？

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设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{°}$ ， $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的焦距；
（Ⅱ）如果 $\overset{⇀}{A F_{2}} = 2 \overset{⇀}{F_{2} B}$ ,求椭圆 $C$ 的方程。

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为了比较注射 $A, B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随即地分成两组。每组100只，其中一组注射药物 $A$ ，另一组注射药物 $B$ .下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位： $m m^{2}$ ）
表1：注射药物 $A$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物 $B$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（Ⅱ）完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有99.9％的把握认为"注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异".
表3：

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在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ .
（Ⅰ）求 $A$ 的大小；
（Ⅱ）若 $\sin B + \sin C = 1$ ，是判断 $△ A B C$ 的形状.

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如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $B_{1} C ⊥ A_{1} B$ .
（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B_{1} C$ $⊥$ 平面 $A_{1} B_{} C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 上的点，且 $A B_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$ ，求 $A_{1} D \cdot D C_{1}$

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已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正数，证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} \geq 6 \sqrt{3}$ ，并确定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为何值时，等号成立。

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