(本小题满分13分)在一次数学考试中，共有10道选择题，每题

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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(本小题满分13分)
在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
(Ⅰ)得50分的概率；
(Ⅱ)得40分的概率.

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已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\} (k \geq 2)$ ，其中 $a_{i} \in Z (i = 1, 2, \dots, k)$ ，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合： $S = \{(a, b) a \in A, b \in A, a + b \in A\}$ ， $T = \{(a, b) a \in A, b \in A, a - b \in A\}$ ．其中是有序数对，集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$ ．若对于任意的 $a \in A$ ，总有 $- a \notin A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P$ ．
（I）检验集合 $\{0, 1, 2, 3\}$ 与 $\{- 1, 2, 3\}$ 是否具有性质 $P$ 并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$ ；
（II）对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$ ，证明： $n \leq \frac{k (k - 1)}{2}$ ；
（III）判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系，并证明你的结论．

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如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 $2 r$ ，短半轴长为 $r$ ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 $A B$ 是半椭圆的短轴，上底 $C D$ 的端点在椭圆上，记 $C D = 2 x$ ，梯形面积为 $S$ ．

（I）求面积 $S$ 以 $x$ 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 $S$ 的最大值．

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某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用 $ξ$ 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E ξ$ ．

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矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $M (2, 0)$ ， $A B$ 边所在直线的方程为 $x - 3 y - 6 = 0$ ，点 $T (- 1, 1)$ 在 $A D$ 边所在直线上．
（I）求 $A D$ 边所在直线的方程；
（II）求矩形 $A B C D$ 外接圆的方程；
（III）若动圆 $P$ 过点 $N (- 2, 0)$ ，且与矩形 $A B C D$ 的外接圆外切，求动圆 $P$ 的圆心的轨迹方程．

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（I）求证：平面 $C O D ⊥$ 平面 $A O B$ ；
（II）当 $D$ 为 $A B$ 的中点时，求异面直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的大小；
（III）求 $C D$ 与平面 $A O B$ 所成角的最大值．

题型：未知
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