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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知，求值

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在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .
（1）求 $\cos A$ 的值；
(2)若 $a = 1, \cos B + \cos C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共 $5$ 杯，其颜色完全相同，并且其中 $3$ 杯为 $A$ 饮料，另外 $2$ 杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 $5$ 杯饮料中选出 $3$ 杯 $A$ 饮料．若该员工 $3$ 杯都选对，则评为优秀；若3杯选对 $2$ 杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

题型：未知
难度：未知

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（1）如图，对于任一给定的四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ，找出依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，使得 $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的四个顶点满足： $A_{i} \in α_{i}$ （ $i$ =1,2,3,4），求该正四面体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的体积.

题型：未知
难度：未知

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$P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $M, N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右定点，直线 $P M, P N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{5}$ .
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $C$ 为双曲线上的一点，满足 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

题型：未知
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设 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ .
（1）若 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围；
（2）当 $0 < a < 2$ 时， $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 $- \frac{16}{3}$ ，求 $f (x)$ 在该区间上的最大值.

题型：未知
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