定义一种运算*,对于自然数满足以下运算性质:,,求
(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,平面,∥,是的中点,,,. (Ⅰ)证明平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 图7
(本小题满分12分) 某校在招收体育特长生时,须对报名学生进行三个项目的测试.规定三项都合格者才能录取.假定每项测试相互独立,学生各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列,且第一项测试不合格的概率超过,第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为. (Ⅰ)求学生被录取的概率; (Ⅱ)求学生测试合格的项数的分布列和数学期望.
(本小题满分12分) 已知向量,函数.求: (Ⅰ)函数的最小值; (Ⅱ)函数的单调递增区间.
(本小题共14分) 已知椭圆的焦点是,,点在椭圆上且满足. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线与椭圆的交点为,. (i)求使的面积为的点的个数; (ii)设为椭圆上任一点,为坐标原点,,求的值.
(本小题共14分) 设是正数组成的数列,其前项和为,且对于所有的正整数,有. (I) 求,的值; (II) 求数列的通项公式; (III)令,,(),求的前20项和.