已知 $\left\{a_n\right\}$ 是正数组成的数列， $a_1=1$ ，且点 $\left(\sqrt{a_n},a_{n+1}\right)$ （ $n\in N^{*}$ ）在函数 $y=x^2+1$ 的图象上.
(Ⅰ)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(Ⅱ)若列数 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$ , $b_{n+1}=b_n+2^{a_n}$ ，求证： $b_n·b_{n+2}＜{b_{n+1}}^2$ .