（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，且时，证明：．

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对于定义域为 $R$ 的函数 $g (x)$ ，若存在正常数 $T$ ，使得 $\cos g (x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则称 $g (x)$ 为余弦周期函数，且称 $T$ 为其余弦周期.已知 $f (x)$ 是以 $T$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设 $f (x)$ 单调递增， $f (0) = 0$ ， $f (T) = 4 π$ .
（1）验证 $h (x) = x + \sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 π$ 为周期的余弦周期函数；
（2）设 $a < b$ ．证明对任意 $c \in [f (a), f (b)]$ ，存在 $x_{0} \in [a, b]$ ，使得 $f (x_{0}) = c$ ；
（3）证明：" $u_{0}$ 为 $\cos f (x) = 1$ 在 $[0, T]$ 上得解"的充要条件是" $u_{0} + T$ 为方程 $\cos f (x) = 1$ 在 $[T, 2 T]$ 上有解"，并证明对任意 $x \in [0, T]$ 都有 $f (x + T) = f (x) + f (T)$ .

题型：未知
难度：未知

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已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (b_{n + 1} - b_{n}), n \in N^{+}$ .
（1）若 $b_{n} = 3 n + 5$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 ${a_{n}}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}} > a_{n} (n \in N^{+})$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项；
（3）设 $a_{1} = λ < 0, b_{n} = λ^{n} (n \in N^{+})$ ，求 $λ$ 的取值范围，使得 ${a_{n}}$ 有最大值 $M$ 与最小值 $m$ ，且 $\frac{M}{m} \in (- 2, 2)$ .

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $A, B$ 和 $C, D$ ，记得到的平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $S$ .
（1）设 $A (x_{1}, y_{1}), C (x_{2}, y_{2})$ ，用 $A, C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = 2 |x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}|$ ；
（2）设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值.

题型：未知
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如图， $O, P, Q$ 三地有直道相通， $O P = 5$ 千米， $P Q = 3$ 千米， $O Q = 4$ 千米.现甲、乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f (t)$ （单位：千米）.甲的路线是 $O Q$ ，速度为5千米/小时，乙的路线是 $OP Q$ ，速度为8千米/小时.乙到达 $B$ 地后原地等待.设 $t = t_{1}$ 时乙到达 $Q$ 地.

（1）求 $t_{1}$ 与 $f (t_{1})$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f (t)$ 的表达式，并判断 $f (t)$ 在 $[t_{1}, 1]$ 上得最大值是否超过3？说明理由.

题型：未知
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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1, A B = A D = 2, E, F$ ，分别是 $A B, B C$ 的中点．证明 $A_{1}, C_{1}, F, E$ 四点共面，并求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} F E$ 所成的角的大小.

题型：未知
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