设函数 $f\left(x\right)=x-x\ln x$．数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $0<a_1<1,a_{n-1}=f\left(a_n\right)$

（Ⅰ）证明：函数 $f\left(x\right)$在区间 $(0,1)$是增函数；
（Ⅱ）证明： $a_n<a_{n-1}<1$；
（Ⅲ）设 $b\in (a_1,1)$，整数 $k\ge \frac{a_1-b}{a_1\ln b}$．证明： $a_{n-1}>b$．