某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,;③,其中为常数,且。(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入。
(本小题14分),为方程的两个实根,,求及的值.
(本小题14分) 已知集合. 求:(1);(2)若,且,求的范围.
已知函数. (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)设.当时,若对任意, 存在,使,求实数的最小值
已知椭圆()的两个焦点分别为,点P在椭圆上,且满足,,直线与圆相切,与椭圆相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)证明为定值(O为坐标原点)
如图,在长方体中,,且. (Ⅰ)求证:对任意,总有; (Ⅱ)若,求二面角的余弦值; (Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.