如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由
B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交
点为D．
（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；
（2）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（3）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

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某产品的三个质量指标分别为 $x, y, z$ , 用综合指标 $S = x + y + z$ 评价该产品的等级. 若 $S \leq 4$ , 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 $10$ 件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 2, 1)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 2, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 2)$

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件 $B$ 为 "在取出的 $2$ 件产品中, 每件产品的综合指标 $S$ 都等于4", 求事件 $B$ 发生的概率.

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如图，已知曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2} : |y| = |x + 1|$ ， $P$ 是平面上一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 $P$ 为" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

(1)在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 $y = k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k| > 1$ ，进而证明原点不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"；
(3)求证：圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 内的点都不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x)$ ，其中常数 $ω > 0$ ；
（1）若 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的取值范围；
（2）令 $ω = 2$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，区间 $[a, b]$ （ $a, b \in R$ 且 $a < b$ ）满足： $y = g (x)$ 在 $[a, b]$ 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 $[a, b]$ 中，求 $b - a$ 的最小值．

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甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得利润是 $100 (5 x + 1 - \frac{3}{x})$ 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求 $x$ 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ , $A D = 1$ , $A_{1} A = 1$ ，证明直线 $B C_{1}$ 平行于平面 $D A_{1} C$ ，并求直线 $B C_{1}$ 到平面 $D_{1} A C$ 的距离.

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