（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及．

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设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ .

（Ⅰ）求 $△ A B C$ 的周长；
（Ⅱ）求 $\cos (A - C)$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l： $x = - 2$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，设 $P$ 是 $l$ 上一点， $M$ 是线段 $O P$ 的垂直平分线上一点，且满足 $∠ M P O = ∠ A O P$ ．
（1）当点 $P$ 在 $l$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；
（2）已知 $T (1, - 1)$ ，设 $H$ 是 $E$ 上动点，求 $| H O | + | H T |$ 的最小值，并给出此时点 $H$ 的坐标；
（3）过点 $T (1, - 1)$ 且不平行与 $y$ 轴的直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点，求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

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设 $b > 0$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$ ， $a_{n} = \frac{n b a_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1} (n \geq 2)$
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 $n$ ， $2 a_{n} \leq b^{n + 1} + 1$ ．

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设 $a ＞ 0$ ，讨论函数 $f (x) = \ln x + a (1 ﹣ a) x^{2} - 2 (1 ﹣ a) x$ 的单调性．

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如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的， $A, A `, B, B `$ 分别为 $\hat{C D}, \hat{C ` D `}, \hat{D E}, \hat{D ` E `}$ 的中点， $O_{1}, O_{1} `, O_{2}, O_{2} `$ 分别为 $C D, C ` D `$ ， $D E, D ` E `$ 的中点．

（1）证明： $O_{1} `, A `, O_{2}, B$ 四点共面；
（2）设 $G$ 为 $A A `$ 中点，延长 $A ` O_{1} `$ 到 $H `$ ，使得 $O_{1} ` H ` ⊥ A ` O_{1} `$ ．证明： $B O_{2} ` ⊥$ 平面 $H ` B ` G$ .

题型：未知
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