已知方程(m2)x(m3)y40(m∈R)所表示的直线恒过定

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标.

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[选修4―4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 C的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = 3 \cos θ, \\ y = \sin θ, \end{matrix} （ θ 为参数）$ ，直线 l的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = a + 4 t, \\ y = 1 - t, \end{matrix} (t 为参数)$ .

（1）若 $a = - 1$ ，求 C与 l的交点坐标；

（2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a.

题型：未知
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已知函数 $f （ x) = a e^{2 x} + (a ﹣ 2) e^{x} ﹣ x$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ ，四点P₁（1,1），P₂（0,1），P₃ $（ - 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ ，P₄ $（ 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ 中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

题型：未知
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为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件数，求 $P (X \geq 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16} (\sum_{i = 1}^{16} x_{i}^{2} - 16 {\bar{x}}^{2})^{2}} \approx 0.212$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值 $\hat{μ}$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $σ$ 的估计值 $\hat{σ}$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\hat{μ} - 3 \hat{σ}, \hat{μ} + 3 \hat{σ})$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $μ$ 和 $σ$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.997 4$ ，

$0.997 4^{16} = 0.959 2$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ ．

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如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $AB / / CD$ ，且 $∠ BAP = ∠ CDP = 9 0^{\circ}$ .

（1）证明：平面 $PAB ⊥$ 平面 $PAD$ ；

（2）若 $PA = PD = AB = DC$ ， $∠ APD = 9 0^{\circ}$ ，求二面角 $A - PB - C$ 的余弦值.

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