火车有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t．现_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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火车有某公司待运的甲种货物1530 t，乙种货物1150 t．现计划用、两种型号的车厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节型货厢；25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节型货物，据此安排、两种货厢的节数，共有几种方案？若每节型货厢的运费是0.5万元，每节型货物的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？

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已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + a x^{2} + 1$

（I）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a < - 1$ .如果对任意 $x_{1}, x_{2 \in (0, + \infty)}$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq 4 |x_{1} - x_{2}|$ ，求 $a$ 的取值范围。

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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为60^o, $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$

(I)求椭圆 $C$ 的离心率；
(II)如果 $|A B| = \frac{15}{4}$ ，求椭圆 $C$ 的方程.

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已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B C, A B ⊥ A C, P A = A C = \frac{1}{2} A B$ , $N$ 为 $A B$ 上一点， $A B = 4 A N, M, S$ 分别为 $P B, B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $C M ⊥ S N$

（Ⅱ）求 $S N$ 与平面 $C M N$ 所成角的大小.

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为了比较注射 $A, B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物 $A$ ，另一组注射药物 $B$ .
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；

（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物 $A$ 和 $B$ 后的试验结果.（疱疹面积单位： $m m^{2}$ ）表1：注射药物 $A$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表.

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为"注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异".

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在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 a + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$
（Ⅰ）求 $A$ 的大小；
（Ⅱ）求 $\sin B + \sin C$ 的最大值.

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