(理)（本小题共14分）已知函数（1）若时，函数在其定义域内_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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(理)（本小题共14分）已知函数
（1）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围
（2）在（1）的结论下，设函数，求函数的最小值；（3）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于P,Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

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已知函数 $f (x) = |2 x - 1| + |2 x + a|$ ， $g (x) = x + 3$ .
（Ⅰ）当 $a = - 2$ 时，求不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集；
（Ⅱ）设 $a > - 1$ ，且当 $x \in [- \frac{a}{2}, \frac{1}{2})$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围。

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已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 4 + 5 \cos t \\ y = 5 + 5 \sin t \end{cases}$ ( $t$ 为参数),以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ .
（1）把 $C_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标( $ρ \geq 0, 0 \leq θ < 2 π$ ).

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如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上， $∠ A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ， $D B$ 垂直 $B E$ 交圆于点 $D$ 。

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已知圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长是，求 $|A B|$ .

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如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ， $A B = A A_{1}$ ， $∠ B A A_{1} = 60 °$ .

（Ⅰ）证明： $A B ⊥ A_{1} C$ ；
（Ⅱ）若 $A B = C B = 2$ , $A_{1} C = \sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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