在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $C$的顶点在原点，经过点 $A(2,2)$，其焦点 $F$在 $x$轴上.

（1）求抛物线 $C$的标准方程；
（2）求过点 $F$，且与直线 $OA$垂直的直线的方程；
（3）设过点 $M(m,0)(m>0)$的直线交抛物线 $C$于 $D$、 $E$两点， $ME=2DM$，记 $D$和 $E$两点间的距离为 $f\left(m\right)$，求 $f\left(m\right)$关于 $m$的表达式.