已知在时取得极值，且。（1）试求常数值；（2）试判断是函数的

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知在时取得极值，且。（1）试求常数值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = P B \sqrt{6}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点。

( $I$ )求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 的距离；
( $I I$ )若 $A D = \sqrt{3}$ ，求二面角 $A - E C - D$ 的平面角的余弦值。

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已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln (x + 1)$ 其中实数 $a \neq 1$ .
（I）若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（II)若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f (x)$ 的单调性.

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在甲、乙等6个单位参加的一次"唱读讲传"演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：
（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数 $ζ$ 的分布列与期望。

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设函数.
(I)求的值域;
(II)记的内角的对边长分别为，若,求的值.

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已知以原点 $O$ 为中心， $F (\sqrt{5}, 0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .
（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1} :$ $x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $N (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{2} \neq y_{2}$ ）的直线 $l_{2} :$ ： $x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $M N$ 与双曲线的两条渐近线分别交于 $G$ 、 $H$ 两点，求 $\overset{⇀}{O G} \cdot \overset{⇀}{O H}$ 的值.

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