在数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1=1,a_2=2$，且 $a_{n+1}=(1+q)a_n-q{a}_{n-1}(n\ge 2,q\ne 0)$；
（1）设 $b_n=an+1-a_n(n\in N*)$，证明 $\left\{b_n\right\}$是等比数列；

（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（3）若 $a_3$是 $a_6$与 $a_9$的等差中项，求q的值，并证明：对任意的 $n\in n*,a_n$是 $a_{n+2}$与 $a_{n+5}$的等差中项；