2010年全国统一高考理科数学试卷（山东卷）

如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_1,F_2$ 为顶点的三角形的周长为 $4\left(\sqrt{2}+1\right)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P{F}_1$ 、 $P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1$ 、 $k_2$ ，证明 $k_1{k}_2=1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\left|AB\right|+\left|CD\right|=\lambda \left|AB\right|·\left|CD\right|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

如图，在五棱锥 $P-ABCDE$ 中， $PA\perp \mathrm{平面}ABCDE$ ， $AB\parallel CD$ ， $AC\parallel ED$ ， $AE\parallel BC$ ， $\angle ABC=45°$ ， $AB=2\sqrt{2}$ ， $BC=2AE=4$ ，三角形 $PAB$ 是等腰三角形．

（Ⅰ）求证： $\mathrm{平面}PCD\perp \mathrm{平面}PAC$ ；
（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥 $P-ACDE$ 的体积．

已知全集 $U=R$，集合 $M=\left\{x\right|\left|x-1\right|\le 2\}$,则 $C_{U}M=$（   ）

已知 $\frac{a+2i}{i}=b+i\left(a,b\right)\frac{a+2i}{i}=b+i$（ $a,.b\in R$），其中 $i$为虚数单位，则 $a+b$=（）

在空间，下列命题正确的是

设 $f\left(x\right)$为定义在 $R$上的奇函数，当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)=2^x+2x+b$( $b$为常数)，则 $f(-1)=$

已知随机变量 $Z$服从正态分布 $N(0,e^2)$,若 $P(Z>2)=0.023$,则 $P(-2\le Z\le 2)=$（）

样本中共有五个个体，其值分别为 $a$,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

由曲线 $y=x^2,y=x^3$围成的封闭图形面积为（）

某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，则" $a_1<a_2<a_3$"是数列 $\left\{a_n\right\}$是递增数列的

设变量 $x$、 $y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-y+2\ge 0\\ x-5y+10\le 0\\ x+y-8\le 0\end{array}\\ \end{array}\right.,$则目标函数 $z=3x-4y$的最大值和最小值分别为（）

函数 $y=2^x-x^2$ 的图像大致是（  ）

定义平面向量之间的一种运算" $\odot$"如下，对任意的 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(m,n)$， $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(p,q)$，令 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\odot \stackrel{\rightharpoonup }{b}=mq-np$，下面说法错误的是（   ）

执行右图所示的程序框图，若输入 $x=10$ ，则输出 $y$ 的值为   ．

若对任意 $x>0,$ $\frac{x}{x^2+3x+1}\le a$恒成立，则 $a$的取值范围是

在 $∆ABC$中，角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$若 $a=\sqrt{2},b=2,\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，则角 $A$的大小为.

已知圆 $C$过点 $(1,0)$，且圆心在 $x$轴的正半轴上，直线 $l:$ $y=x-1$被圆 $C$所截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，则过圆心且与直线 $l$垂直的直线的方程为．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x\sin \phi +{\cos }^{2}x\cos \phi -\frac{1}{2}\sin (\frac{\pi }{2}+\phi )(0<\phi <\pi )$，其图象过点 $(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2})$．
（Ⅰ）求 $\phi$的值；
（Ⅱ）将函数 $y=f\left(x\right)$的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图象，求函数 $g\left(x\right)$在 $[0,\frac{\pi }{4}]$上的最大值和最小值．

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_3=7,a_5+a_1=26$， $\left\{a_n\right\}$的前n项和为 $S_n$．
（Ⅰ）求 $a_n$及 $S_n$；
（Ⅱ）令b_n= $b_n=\frac{1}{a_n^2-1}（n\in N*）$(nN^*)，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和 $T_n$．

已知函数 $f\left(x\right)=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a\in R)$.
(Ⅰ)当 $a\le \frac{1}{2}$时，讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设 $g\left(x\right)=x^2-2bx+4$当 $a=\frac{1}{4}$时，若对任意 $x_1\in (0,2)$，存在 $x_2\in [1,2]$，使 $f\left(x_1\right)\ge g\left(x_2\right)$，求实数 $b$取值范围.

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 $A,B,C,D$四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $A,B,C,D$分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题 $A,B,C,D$顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 $A,B,C,D$回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用 $\zeta$表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $\zeta$的分布列和数学的 $E\zeta$.