【七年级下册】全国重点高中提前招生知识过关（四）

下列说法中，正确的个数有（ ）

① $m$是一个实数， $m^2$的算术平方根是 $m$；

② $m$是一个实数，则 $-m$没有平方根；

③带根号的数是无理数；

④无限小数是无理数；

⑤如果 $\sqrt{a^2}-a=b$成立，则 $b$的取值范围是 $b⩾0$.

若 $a\mathrm{，}b$为实数，且 $b=\frac{\sqrt{a^2-4}+\sqrt{4-a^2}}{a-2021}+5$，则 $a+b$的值为（ ）

实数 $b$满足 $\left|b\right|<3$，并且有实数 $a$使 $a<b$恒成立，则 $a$的取值范围是（ ）

若 $a\mathrm{，}b$均为正整数，且 $a>\sqrt{7}\mathrm{，}b<\sqrt[3]{2}$，则 $a+b$的最小值是（ ）

若实数 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$满足等式 $2\sqrt{a}+3\left|b\right|=6\mathrm{，}4\sqrt{a}-9\left|b\right|=6c$，则 $c$可取的最大值为（ ）

已知非零实数 $a\mathrm{，}b$满足 $|2a-4|+|b+2|+\sqrt{\mathrm{（}a-3\mathrm{）}{b}^2}+4=2a$，则 $a+b$等于（ ）

已知 $2m-3$与 $4m-5$是一个正数的平方根，则这个正数是＿＿＿＿＿.

已知 $a\mathrm{，}b$是有理数，且 $\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a+\left(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)b-2\frac{1}{4}-1\frac{9}{20}\sqrt{3}=0$，则 $a$和 $b$的值分别是＿＿＿＿＿.

两个不相等的实数 $a\mathrm{，}b$定义一种新的运算如下， $a*b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}\left(a+b>0\right)$，如: $3*2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$，那么 $6*\mathrm{（}5*4\mathrm{）}=$ ＿＿＿＿＿.

已知实数 $a$满足 $|2021-a|+\sqrt{a-2022}=a$，则 $a-{2021}^2=$＿＿＿＿＿.

已知实数 $a\mathrm{，}b$满足 $\sqrt{\mathrm{（}1-a{\mathrm{）}}^2}+\sqrt{\mathrm{（}a-6{\mathrm{）}}^2}=10-|b+3|-|b-2|$，则 $a^2+b^2$的最大值为＿＿＿＿＿.

已知 $x={\left(\frac{-2a}{4+a}-\frac{\sqrt{\left|a\right|-3}+\sqrt{3-\left|a\right|}}{3-a}\right)}^{2021}$，则 $x$的个位数字是＿＿＿＿＿.

已知实数 $\frac{5+\sqrt{5}}{7}$的小数部分为 $a$， $\frac{7-\sqrt{3}}{5}$的小数部分为 $b$，求 $7a+5b$的值.

设 $x\mathrm{，}y$都是有理数，且满足方程 $\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{3}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{\pi }{2}\right)y-4-\pi =0$，求 $x-y$的值.

设 $y=\frac{\mathit{ax}+b}{\mathit{cx}+d}$， $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c\mathrm{，}d$都是有理数， $x$是无理数.求证：

（1）当 $\mathit{bc}=\mathit{ad}$时， $y$是有理数；

（2）当 $\mathit{bc}\ne \mathit{ad}$时， $y$是无理数.

若实数 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$满足关系式： $\sqrt{a-199+b}-\sqrt{199-a-b}=\sqrt{3a+5b-2-c}+\sqrt{2a+3b-c}$，试确定 $c$的值.

设 $S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\mathrm{，}{S}_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\mathrm{，}{S}_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\mathrm{，}\cdots \mathrm{，}{S}_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\mathrm{（}n+1{\mathrm{）}}^2}$，求 $\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\cdots +\sqrt{S_n}$的值.（用含 $n$的代数式表示，其中 $n$为正整数）