【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（五）

已知 $p,q$均为质数，但满足 $5p^2+3q=59$，则以 $p+3,1-p+q,2p+q-4$为边长的三角形是（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2,\mathit{AC}=4$，且 $\mathit{BD}:\mathit{DC}=2:3$，则 $△\mathit{ABC}$为（ ）

如图，在单位正方形组成的网格图中标出了 $\mathit{AB},\mathit{CD},\mathit{EF},\mathit{GH}$四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

2002年8月北京召开的国际数学家大会会徽如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是 $13$，小正方形的面积是 $1$，直角三角形的较长直角边为 $a$，较短直角边为 $b$，则 $a^3+b^3$的值为（ ）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是一张长方形纸片，将 $\mathit{AD},\mathit{BC}$折起，使 $A,B$两点重合于边 $\mathit{CD}$上的点 $P$，然后压平得折痕 $\mathit{EF}$与 $\mathit{GH}$.若 $\mathit{PE}=8\text{cm},\mathit{PG}=6\text{cm},\mathit{EG}=10\text{cm}$，则长方形纸片 $\mathit{ABCD}$的面积为 （ ）

如图①所示，直角三角形纸片的两直角边长 $\mathit{CA}=6,\mathit{CB}=8$，现将 $△\mathit{ABC}$按如图②所示那样折叠，使点 $B$和点 $A$重合，折痕为 $\mathit{DE}$，则四边形 $\mathit{ADEC}$的面积是（ ）

已知 $a,b,c$是 $△\mathit{ABC}$的三边长，且满足关系式 $\sqrt{c^2-a^2-b^2}+\left|a-b\right|=0$，则 $△\mathit{ABC}$的形状为＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{AC}=\mathit{BC},P$是三角形内一点，且 $\mathit{PA}=3,\mathit{PB}=1,\mathit{PC}=2$，则 $\angle \mathit{BPC}$的度数为＿＿＿＿＿.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=5,\mathit{AC}=13$，边 $\mathit{BC}$上的中线 $\mathit{AD}=6$，则 $\mathit{BC}$的长为＿＿＿＿＿.

若 $a>0,b>0,a+b=10$，则 $\sqrt{a^2+4}+\sqrt{b^2+9}$的最小值为＿＿＿＿＿.

若 $△\mathit{ABC}$的三边 $a,b,c$满足条件: $\mathrm{}{a}^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c$，则这个三角形最长边上的高为＿＿＿＿＿.

已知两直角边长分别是整数 $a,b(b<2011)$，则斜边是 $b+1$的直角三角形的个数为＿＿＿＿＿.

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a,b,c$与 $n$之间的关系，并用含自然数 $n(n>1)$的代数式表示: $a=$ _________， $b=$_________， $c=$_________.

（2）猜想：以 $a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $D$，设 $\mathit{AC}=b,\mathit{BC}=a$， $\mathit{AB}=c,\mathit{CD}=h$.

求证：（1） $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$；

（2） $a+b<c+h$；

（3）以 $a+b,h,c+h$为边的三角形是直角三角形.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\angle \mathit{ADC}=60°,\mathit{AD}=\mathit{DC}$.证明: $B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2$.

已知 $△\mathit{ABC}$为等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC},D$为斜边 $\mathit{BC}$的中点， $E,F$分别是 $\mathit{AB},\mathit{AC}$边上的点，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$.若 $\mathit{BE}=12,\mathit{CF}=5$.求 $△\mathit{DEF}$的面积.

如图，点 $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内的一点，连接 $\mathit{PA},\mathit{PB},\mathit{PC}$，以 $\mathit{BP}$为边作 $\angle \mathit{PBQ}={60}^{\circ }$，且 $\mathit{BQ}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{CQ}$.

（1）观察并猜想 $\mathit{AP}$与 $\mathit{CQ}$之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{PA}:\mathit{PB}:\mathit{PC}=3:4:5$，连接 $\mathit{PQ}$，试判断 $△\mathit{PQC}$的形状，并说明理由.