2018年湖南省长沙市中考数学试卷

$-2$的相反数是 $($　　 $)$

A． $-2$B． $-\frac{1}{2}$C．2D． $\frac{1}{2}$

据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $0.102\times {10}^5$B． $10.2\times {10}^3$C． $1.02\times {10}^4$D． $1.02\times {10}^3$

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $a^2+a^3=a^5$B． $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=1$C． ${\left(x^2\right)}^3=x^5$D． $m^5÷m^3=m^2$

下列长度的三条线段，能组成三角形的是 $($　　 $)$

A． $4\mathit{cm}$， $5\mathit{cm}$， $9\mathit{cm}$B． $8\mathit{cm}$， $8\mathit{cm}$， $15\mathit{cm}$C． $5\mathit{cm}$， $5\mathit{cm}$， $10\mathit{cm}$D． $6\mathit{cm}$， $7\mathit{cm}$， $14\mathit{cm}$

下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．B．C．D．

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x+2>0\\ 2x-4⩽0\end{array}\right.$的解集在数轴上表示正确的是 $($　　 $)$

A．

B．

C．

D．

将下列如图的平面图形绕轴 $l$旋转一周，可以得到的立体图形是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B．天气预报说“明天的降水概率为 $40\%$”，表示明天有 $40\%$的时间都在降雨

C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D．“ $a$是实数， $\left|a\right|⩾0$”是不可能事件

估计 $\sqrt{10}+1$的值是 $($　　 $)$

A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间

小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离 $y$与时间 $x$之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．小明吃早餐用了 $25\mathit{min}$

B．小明读报用了 $30\mathit{min}$

C．食堂到图书馆的距离为 $0.8\mathit{km}$

D．小明从图书馆回家的速度为 $0.8\mathit{km}/\mathit{min}$

我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里 $=500$米，则该沙田的面积为 $($　　 $)$

A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米

若对于任意非零实数 $a$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{ax}-2a$总不经过点 $P(x_0-3$， $x_0^2-16)$，则符合条件的点 $P($　　 $)$

A．有且只有1个B．有且只有2个C．至少有3个D．有无穷多个

化简： $\frac{m}{m-1}-\frac{1}{m-1}=$　　．

某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为　　度．

在平面直角坐标系中，将点 $A(-2,3)$向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点 $A\text{'}$的坐标是　　．

掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是　　．

已知关于 $x$方程 $x^2-3x+a=0$有一个根为1，则方程的另一个根为　　．

如图，点 $A$， $B$， $D$在 $\odot O$上， $\angle A=20°$， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线， $B$为切点， $\mathit{OD}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $C$，则 $\angle \mathit{OCB}=$　 度．

计算： ${(-1)}^{2018}-\sqrt{8}+{(\pi -3)}^0+4\cos 45°$．

先化简，再求值： ${(a+b)}^2+b(a-b)-4\mathit{ab}$，其中 $a=2$， $b=-\frac{1}{2}$．

为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了　　名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$、 $B$两地间的公路进行改建．如图， $A$、 $B$两地之间有一座山，汽车原来从 $A$地到 $B$地需途经 $C$地沿折线 $\mathit{ACB}$行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $\mathit{AB}$行驶．已知 $\mathit{BC}=80$千米， $\angle A=45°$， $\angle B=30°$．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$地到 $B$地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$地到 $B$地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．

（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是边 $\mathit{BC}$上的中线， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$， $\mathit{CE}//\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{AD}=3$．

（1）求 $\mathit{CE}$的长；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形．

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆圆心 $P$与内切圆圆心 $Q$之间的距离．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，函数 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>1$， $x>0)$的图象经过点 $P(m,1)$和 $Q(1,m)$，直线 $\mathit{PQ}$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $C$， $D$两点，点 $M(x,y)$是该函数图象上的一个动点，过点 $M$分别作 $x$轴和 $y$轴的垂线，垂足分别为 $A$， $B$．

（1）求 $\angle \mathit{OCD}$的度数；

（2）当 $m=3$， $1<x<3$时，存在点 $M$使得 $\mathit{\Delta OPM}\backsim \mathit{\Delta OCP}$，求此时点 $M$的坐标；

（3）当 $m=5$时，矩形 $\mathit{OAMB}$与 $\mathit{\Delta OPQ}$的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　　；

②在凸四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$且 $\mathit{CB}\ne \mathit{CD}$，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” $)$

（2）如图1， $A$， $B$， $C$， $D$是半径为1的 $\odot O$上按逆时针方向排列的四个动点， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $\angle \mathit{ADB}-\angle \mathit{CDB}=\angle \mathit{ABD}-\angle \mathit{CBD}$，当 $6⩽A{C}^2+B{D}^2⩽7$时，求 $\mathit{OE}$的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$为常数， $a>0$， $c<0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点（点 $A$在点 $C$的左侧）， $B$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $D$的坐标为 $(0,-\mathit{ac})$，记“十字形” $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，记 $\mathit{\Delta AOB}$， $\mathit{\Delta COD}$， $\mathit{\Delta AOD}$， $\mathit{\Delta BOC}$的面积分别为 $S_1$， $S_2$， $S_3$， $S_4$．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① $\sqrt{S}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}$；② $\sqrt{S}=\sqrt{S_3}+\sqrt{S_4}$；③“十字形” $\mathit{ABCD}$的周长为 $12\sqrt{10}$．