2020年河北省中考数学试卷

如图，在平面内作已知直线 $m$ 的垂线，可作垂线的条数有 $($ 　　 $)$

墨迹覆盖了等式" $x^3$ $x=x^2(x\ne 0)$ "中的运算符号，则覆盖的是 $($ 　　 $)$

对于① $x-3\mathit{xy}=x(1-3y)$ ，② $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$ ，从左到右的变形，表述正确的是 $($ 　　 $)$

如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是 $($ 　　 $)$

如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是 $a$ 元 $/$ 千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 $a=($ 　　 $)$

如图1，已知 $\angle \mathit{ABC}$ ，用尺规作它的角平分线．

如图2，步骤如下，

第一步：以 $B$ 为圆心，以 $a$ 为半径画弧，分别交射线 $\mathit{BA}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $E$ ；

第二步：分别以 $D$ ， $E$ 为圆心，以 $b$ 为半径画弧，两弧在 $\angle \mathit{ABC}$ 内部交于点 $P$ ；

第三步：画射线 $\mathit{BP}$ ．射线 $\mathit{BP}$ 即为所求．

下列正确的是 $($ 　　 $)$

若 $a\ne b$ ，则下列分式化简正确的是 $($ 　　 $)$

在如图所示的网格中，以点 $O$ 为位似中心，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的位似图形是 $($ 　　 $)$

若 $\frac{(9^2-1)({11}^2-1)}{k}=8\times 10\times 12$ ，则 $k=($ 　　 $)$

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕边 $\mathit{AC}$ 的中点 $O$ 顺时针旋转 $180°$ ．嘉淇发现，旋转后的 $\mathit{\Delta CDA}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 构成平行四边形，并推理如下：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中" $\because \mathit{CB}=\mathit{AD}$ ，"和" $\therefore$ 四边形 $\dots$ "之间作补充，下列正确的是

$($ 　　 $)$

若 $k$ 为正整数，则 $\underset{k个k}{\underset{︸}{{(k+k+\dots +k)}^k}}=($ 　　 $)$

如图，从笔直的公路 $l$ 旁一点 $P$ 出发，向西走 $6\mathit{km}$ 到达 $l$ ；从 $P$ 出发向北走 $6\mathit{km}$ 也到达 $l$ ．下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

已知光速为300000千米 $/$ 秒，光经过 $t$ 秒 $(1⩽t⩽10)$ 传播的距离用科学记数法表示为 $a\times {10}^n$ 千米，则 $n$ 可能为 $($ 　　 $)$

有一题目："已知：点 $O$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心， $\angle \mathit{BOC}=130°$ ，求 $\angle A$ ．"嘉嘉的解答为：画 $\mathit{\Delta ABC}$ 以及它的外接圆 $O$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OC}$ ．如图，由 $\angle \mathit{BOC}=2\angle A=130°$ ，得 $\angle A=65°$ ．而淇淇说："嘉嘉考虑的不周全， $\angle A$ 还应有另一个不同的值．"下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

如图，现要在抛物线 $y=x(4-x)$ 上找点 $P(a,b)$ ，针对 $b$ 的不同取值，所找点 $P$ 的个数，三人的说法如下，

甲：若 $b=5$ ，则点 $P$ 的个数为0；

乙：若 $b=4$ ，则点 $P$ 的个数为1；

丙：若 $b=3$ ，则点 $P$ 的个数为1．

下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的"毕达哥拉斯"图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 $($ 　　 $)$

已知：$\sqrt{18}-\sqrt{2}=a\sqrt{2}-\sqrt{2}=b\sqrt{2}$，则$\mathit{ab}=$　　．

正六边形的一个内角是正$n$边形一个外角的4倍，则$n=$　　．

如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_m(m$ 为 $1~8$ 的整数）．函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$ 的图象为曲线 $L$ ．

（1）若 $L$ 过点 $T_1$ ，则 $k=$ 　 　；

（2）若 $L$ 过点 $T_4$ ，则它必定还过另一点 $T_m$ ，则 $m=$ 　　；

（3）若曲线 $L$ 使得 $T_1~T_8$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 $k$ 的整数值有 　　个．

已知两个有理数： $-9$ 和5．

（1）计算： $\frac{(-9)+5}{2}$ ；

（2）若再添一个负整数 $m$ ，且 $-9$ ，5与 $m$ 这三个数的平均数仍小于 $m$ ，求 $m$ 的值．

有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 $A$ 区就会自动加上 $a^2$ ，同时 $B$ 区就会自动减去 $3a$ ，且均显示化简后的结果．已知 $A$ ， $B$ 两区初始显示的分别是25和 $-16$ ，如图．

如，第一次按键后， $A$ ， $B$ 两区分别显示：

（1）从初始状态按2次后，分别求 $A$ ， $B$ 两区显示的结果；

（2）从初始状态按4次后，计算 $A$ ， $B$ 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

如图，点$O$为$\mathit{AB}$中点，分别延长$\mathit{OA}$到点$C$，$\mathit{OB}$到点$D$，使$\mathit{OC}=\mathit{OD}$．以点$O$为圆心，分别以$\mathit{OA}$，$\mathit{OC}$为半径在$\mathit{CD}$上方作两个半圆．点$P$为小半圆上任一点（不与点$A$，$B$重合），连接$\mathit{OP}$并延长交大半圆于点$E$，连接$\mathit{AE}$，$\mathit{CP}$．

（1）①求证：$\mathit{\Delta AOE}\cong \mathit{\Delta POC}$；

②写出$\angle 1$，$\angle 2$和$\angle C$三者间的数量关系，并说明理由．

（2）若$\mathit{OC}=2\mathit{OA}=2$，当$\angle C$最大时，直接指出$\mathit{CP}$与小半圆的位置关系，并求此时$S_{\mathit{扇形}\mathit{EOD}}$（答案保留$\pi )$．

用承重指数$W$衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数$W$与木板厚度$x$（厘米）的平方成正比，当$x=3$时，$W=3$．

（1）求$W$与$x$的函数关系式．

（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为$x$（厘米），$Q=W_{厚}-W_{薄}$．

①求$Q$与$x$的函数关系式；

②$x$为何值时，$Q$是$W_{薄}$的3倍？$[$注：（1）及（2）中的①不必写$x$的取值范围$]$

表格中的两组对应值满足一次函数$y=\mathit{kx}+b$，现画出了它的图象为直线$l$，如图．而某同学为观察$k$，$b$对图象的影响，将上面函数中的$k$与$b$交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线$l^{\text{'}}$．

（1）求直线$l$的解析式；

（2）请在图上画出直线$l^{\text{'}}$（不要求列表计算），并求直线$l^{\text{'}}$被直线$l$和$y$轴所截线段的长；

（3）设直线$y=a$与直线$l$，$l\text{'}$及$y$轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出$a$的值．

如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴$-3$和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率$P$；

（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对$n$次，且他最终停留的位置对应的数为$m$，试用含$n$的代数式表示$m$，并求该位置距离原点$O$最近时$n$的值；

（3）从如图的位置开始，若进行了$k$次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出$k$的值．

如图1和图2，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，$\mathit{BC}=8$，$\tan C=\frac{3}{4}$．点$K$在$\mathit{AC}$边上，点$M$，$N$分别在$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$上，且$\mathit{AM}=\mathit{CN}=2$．点$P$从点$M$出发沿折线$\mathit{MB}-\mathit{BN}$匀速移动，到达点$N$时停止；而点$Q$在$\mathit{AC}$边上随$P$移动，且始终保持$\angle \mathit{APQ}=\angle B$．

（1）当点$P$在$\mathit{BC}$上时，求点$P$与点$A$的最短距离；

（2）若点$P$在$\mathit{MB}$上，且$\mathit{PQ}$将$\mathit{\Delta ABC}$的面积分成上下$4:5$两部分时，求$\mathit{MP}$的长；

（3）设点$P$移动的路程为$x$，当$0⩽x⩽3$及$3⩽x⩽9$时，分别求点$P$到直线$\mathit{AC}$的距离（用含$x$的式子表示）；

（4）在点$P$处设计并安装一扫描器，按定角$\angle \mathit{APQ}$扫描$\mathit{\Delta APQ}$区域（含边界），扫描器随点$P$从$M$到$B$再到$N$共用时36秒．若$\mathit{AK}=\frac{9}{4}$，请直接写出点$K$被扫描到的总时长．