2019年北京市中考数学试卷

4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星"东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为 $($ 　　 $)$

下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是 $($ 　　 $)$

正十边形的外角和为 $($ 　　 $)$

在数轴上，点 $A$ ， $B$ 在原点 $O$ 的两侧，分别表示数 $a$ ，2，将点 $A$ 向右平移1个单位长度，得到点 $C$ ，若 $\mathit{CO}=\mathit{BO}$ ，则 $a$ 的值为 $($ 　　 $)$

已知锐角 $\angle \mathit{AOB}$ ，如图，

（1）在射线 $\mathit{OA}$ 上取一点 $C$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OC}$ 长为半径作 $\stackrel{̂}{\mathit{PQ}}$ ，交射线 $\mathit{OB}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ；

（2）分别以点 $C$ ， $D$ 为圆心， $\mathit{CD}$ 长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{PQ}}$ 于点 $M$ ， $N$ ；

（3）连接 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{MN}$ ．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 $($ 　　 $)$

如果 $m+n=1$ ，那么代数式 $(\frac{2m+n}{m^2-\mathit{mn}}+\frac{1}{m})·(m^2-n^2)$ 的值为 $($ 　　 $)$

用三个不等式 $a>b$ ， $\mathit{ab}>0$ ， $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 $($ 　　 $)$

某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分

下面有四个推断：

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 $24.5~25.5$ 之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在 $20~30$ 之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 $20~30$ 之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 $20~30$ 之间

所有合理推断的序号是 $($ 　　 $)$

分式$\frac{x-1}{x}$的值为 0 ，则$x$的值是　 　．

如图，已知$\mathit{\Delta ABC}$，通过测量、计算得$\mathit{\Delta ABC}$的面积约为　　$c{m}^2$．（结果保留一位小数）

在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是　   　．（写出所有正确答案的序号）

如图所示的网格是正方形网格，则$\angle \mathit{PAB}+\angle \mathit{PBA}=$　　$°$（点$A$，$B$，$P$是网格线交点）．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，点$A(a$，$b\left)\right(a>0$，$b>0)$在双曲线$y=\frac{k_1}{x}$上，点$A$关于$x$轴的对称点$B$在双曲线$y=\frac{k_2}{x}$，则$k_1+k_2$的值为　　．

把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为　　．

小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差$s_0^2$，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，$-4$，9，$-5$，记这组新数据的方差为$s_1^2$，则$s_1^2$　　$s_0^2$（填“$>$”，“ $=$”或“$<$” $)$

在矩形$\mathit{ABCD}$中，$M$，$N$，$P$，$Q$分别为边$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$，$\mathit{CD}$，$\mathit{DA}$上的点（不与端点重合），对于任意矩形$\mathit{ABCD}$，下面四个结论中，

①存在无数个四边形$\mathit{MNPQ}$是平行四边形；

②存在无数个四边形$\mathit{MNPQ}$是矩形；

③存在无数个四边形$\mathit{MNPQ}$是菱形；

④至少存在一个四边形$\mathit{MNPQ}$是正方形．

所有正确结论的序号是　    　．

计算： $|-\sqrt{3}|-{(4-\pi )}^0+2\sin 60°+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}$ ．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}4(x-1)<x+2\\ \frac{x+7}{3}>x\end{array}\right.$

关于$x$的方程$x^2-2x+2m-1=0$有实数根，且$m$为正整数，求$m$的值及此时方程的根．

如图，在菱形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AC}$为对角线，点$E$，$F$分别在$\mathit{AB}$，$\mathit{AD}$上，$\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接$\mathit{EF}$．

（1）求证：$\mathit{AC}\perp \mathit{EF}$；

（2）延长$\mathit{EF}$交$\mathit{CD}$的延长线于点$G$，连接$\mathit{BD}$交$\mathit{AC}$于点$O$．若$\mathit{BD}=4$，$\tan G=\frac{1}{2}$，求$\mathit{AO}$的长．

国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

$a$．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：$30⩽x<40$，$40⩽x<50$，$50⩽x<60$，$60⩽x<70$，$70⩽x<80$，$80⩽x<90$，$90⩽x⩽100)$；

$b$．国家创新指数得分在$60⩽x<70$这一组的是：

61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

$c$．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

$d$．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告$\left(2018\right)$》$)$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　　；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线$l_1$的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　　万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是　　．

①相比于点$A$，$B$所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点$B$，$C$所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

在平面内，给定不在同一条直线上的点$A$，$B$，$C$，如图所示，点$O$到点$A$，$B$，$C$的距离均等于$a(a$为常数），到点$O$的距离等于$a$的所有点组成图形$G$，$\angle \mathit{ABC}$的平分线交图形$G$于点$D$，连接$\mathit{AD}$，$\mathit{CD}$．

（1）求证：$\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）过点$D$作$\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$，垂足为$E$，作$\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足为$F$，延长$\mathit{DF}$交图形$G$于点$M$，连接$\mathit{CM}$．若$\mathit{AD}=\mathit{CM}$，求直线$\mathit{DE}$与图形$G$的公共点个数．

小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第$i$组有$x_i$首，$i=1$，2，3，4；

②对于第$i$组诗词，第$i$天背诵第一遍，第$(i+1)$天背诵第二遍，第$(i+3)$天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，$i=1$，2，3，4；

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入$x_3$补全上表；

（2）若$x_1=4$，$x_2=3$，$x_3=4$，则$x_4$的所有可能取值为　   　；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为　　首．

如图，$P$是$\widehat{\mathit{AB}}$与弦$\mathit{AB}$所围成的图形的外部的一定点，$C$是$\widehat{\mathit{AB}}$上一动点，连接$\mathit{PC}$交弦$\mathit{AB}$于点$D$．

小腾根据学习函数的经验，对线段$\mathit{PC}$，$\mathit{PD}$，$\mathit{AD}$的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点$C$在$\widehat{\mathit{AB}}$上的不同位置，画图、测量，得到了线段$\mathit{PC}$，$\mathit{PD}$，$\mathit{AD}$的长度的几组值，如下表：

在$\mathit{PC}$，$\mathit{PD}$，$\mathit{AD}$的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当$\mathit{PC}=2\mathit{PD}$时，$\mathit{AD}$的长度约为　　$\mathit{cm}$．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，直线$l:y=\mathit{kx}+1(k\ne 0)$与直线$x=k$，直线$y=-k$分别交于点$A$，$B$，直线$x=k$与直线$y=-k$交于点$C$．

（1）求直线$l$与$y$轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$，$\mathit{CA}$围成的区域（不含边界）为$W$．

①当$k=2$时，结合函数图象，求区域$W$内的整点个数；

②若区域$W$内没有整点，直接写出$k$的取值范围．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{1}{a}$与$y$轴交于点$A$，将点$A$向右平移2个单位长度，得到点$B$，点$B$在抛物线上．

（1）求点$B$的坐标（用含$a$的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点$P(\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{a})$，$Q(2,2)$．若抛物线与线段$\mathit{PQ}$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围．

已知$\angle \mathit{AOB}=30°$，$H$为射线$\mathit{OA}$上一定点，$\mathit{OH}=\sqrt{3}+1$，$P$为射线$\mathit{OB}$上一点，$M$为线段$\mathit{OH}$上一动点，连接$\mathit{PM}$，满足$\angle \mathit{OMP}$为钝角，以点$P$为中心，将线段$\mathit{PM}$顺时针旋转$150°$，得到线段$\mathit{PN}$，连接$\mathit{ON}$．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：$\angle \mathit{OMP}=\angle \mathit{OPN}$；

（3）点$M$关于点$H$的对称点为$Q$，连接$\mathit{QP}$．写出一个$\mathit{OP}$的值，使得对于任意的点$M$总有$\mathit{ON}=\mathit{QP}$，并证明．

在$\mathit{\Delta ABC}$中，$D$，$E$分别是$\mathit{\Delta ABC}$两边的中点，如果$\widehat{\mathit{DE}}$上的所有点都在$\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，则称$\widehat{\mathit{DE}}$为$\mathit{\Delta ABC}$的中内弧．例如，图1中$\widehat{\mathit{DE}}$是$\mathit{\Delta ABC}$的一条中内弧．

（1）如图2，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，$D$，$E$分别是$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$的中点，画出$\mathit{\Delta ABC}$的最长的中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$，并直接写出此时$\widehat{\mathit{DE}}$的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4t$，$0\left)\right(t>0)$，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$D$，$E$分别是$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$的中点．

①若$t=\frac{1}{2}$，求$\mathit{\Delta ABC}$的中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心$P$的纵坐标的取值范围；

②若在$\mathit{\Delta ABC}$中存在一条中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$，使得$\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心$P$在$\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，直接写出$t$的取值范围．