初中数学相似三角形的判定与性质计算题

如图， $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于 $F$、 $G$两点，且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别相切于点 $D$、 $E$， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，连接 $\mathit{DF}$、 $\mathit{EG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（2）已知 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=12$，求四边形 $\mathit{DFGE}$是矩形时 $\odot O$的半径．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x+2$ 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．