初中数学相似三角形的判定与性质计算题

如图，以原点 $O$为圆心，3为半径的圆与 $x$轴分别交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的右边）， $P$是半径 $\mathit{OB}$上一点，过 $P$且垂直于 $\mathit{AB}$的直线与 $\odot O$分别交于 $C$， $D$两点（点 $C$在点 $D$的上方），直线 $\mathit{AC}$， $\mathit{DB}$交于点 $E$．若 $\mathit{AC}:\mathit{CE}=1:2$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）求过点 $A$和点 $E$，且顶点在直线 $\mathit{CD}$上的抛物线的函数表达式．

如图，平面内的两条直线 $l_1$、 $l_2$，点 $A$， $B$在直线 $l_1$上，点 $C$、 $D$在直线 $l_2$上，过 $A$、 $B$两点分别作直线 $l_2$的垂线，垂足分别为 $A_1$， $B_1$，我们把线段 $A_1{B}_1$叫做线段 $\mathit{AB}$在直线 $l_2$上的正投影，其长度可记作 $T_{(\mathit{AB},\mathit{CD})}$或 $T_{(\mathit{AB},l_2)}$，特别地线段 $\mathit{AC}$在直线 $l_2$上的正投影就是线段 $A_{1}C$．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=3$，则 $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=$　    　；

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=4$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=9$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）如图3，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=60°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\angle \mathit{ACD}=90°$， $T_{(\mathit{AD},\mathit{AC})}=2$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=6$，求 $T_{(\mathit{BC},\mathit{CD})}$，

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(5,0)$，以原点 $O$为圆心、3为半径作圆． $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$轴正半轴运动，运动时间为 $t\left(s\right)$．连接 $\mathit{AP}$，将 $\mathit{\Delta OAP}$沿 $\mathit{AP}$翻折，得到 $\mathit{\Delta APQ}$．求 $\mathit{\Delta APQ}$有一边所在直线与 $\odot O$相切时 $t$的值．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点，经过点 $C$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$， $\mathit{AD}\perp \mathit{EC}$交 $\mathit{EC}$的延长线于点 $D$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于 $F$， $\mathit{FM}\perp \mathit{AB}$于 $H$，分别交 $\odot O$、 $\mathit{AC}$于 $M$、 $N$，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$；

（2）若 $\cos M=\frac{4}{5}$， $\mathit{BE}=1$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $\mathit{FN}$的长．

阅读理解：

如图①，图形 $\mathit{l}$外一点 $\mathit{P}$与图形 $\mathit{l}$上各点连接的所有线段中，若线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$最短，则线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$的长度称为点 $\mathit{P}$到图形 $\mathit{l}$的距离．

例如：图②中，线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}\mathit{A}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}\mathit{H}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的坐标分别为 $\mathit{(}\mathit{8}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{)}$， $\mathit{(}\mathit{12}\mathit{,}\mathit{7}\mathit{)}$，点 $\mathit{P}$从原点 $\mathit{O}$出发，以每秒1个单位长度的速度向 $\mathit{x}$轴正方向运动了 $\mathit{t}$秒．

（1）当 $\mathit{t}\mathit{=}\mathit{4}$时，求点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；

（2） $\mathit{t}$为何值时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离为5？

（3） $\mathit{t}$满足什么条件时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{BAD}$ 的平分线 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{BC}$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，点 $O$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，直线 $\mathit{OK}//\mathit{AF}$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $K$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：① $\mathit{\Delta DOK}\cong \mathit{\Delta BOG}$ ；② $\mathit{AB}+\mathit{AK}=\mathit{BG}$ ；

（2）若 $\mathit{KD}=\mathit{KG}$ ， $\mathit{BC}=4-\sqrt{2}$ ．

①求 $\mathit{KD}$ 的长度；

②如图2，点 $P$ 是线段 $\mathit{KD}$ 上的动点（不与点 $D$ 、 $K$ 重合）， $\mathit{PM}//\mathit{DG}$ 交 $\mathit{KG}$ 于点 $M$ ， $\mathit{PN}//\mathit{KG}$ 交 $\mathit{DG}$ 于点 $N$ ，设 $\mathit{PD}=m$ ，当 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $m$ 的值．

如图，将边长为6的正方形纸片 $\mathit{ABCD}$对折，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，折痕为 $\mathit{EF}$，展平后，再将点 $B$折到边 $\mathit{CD}$上，使边 $\mathit{AB}$经过点 $E$，折痕为 $\mathit{GH}$，点 $B$的对应点为 $M$，点 $A$的对应点为 $N$

（1）若 $\mathit{CM}=x$，则 $\mathit{CH}=$　                         　（用含 $x$的代数式表示）；

（2）求折痕 $\mathit{GH}$的长．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$的一组对边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $E$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，求证： $\mathit{ED}\cdot \mathit{EA}=\mathit{EC}\cdot \mathit{EB}$；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ABC}=120°$， $\cos \angle \mathit{ADC}=\frac{3}{5}$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AB}=12$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为6，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积；

（3）如图3，另一组对边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$的延长线相交于点 $F$．若 $\cos \angle \mathit{ABC}=\cos \angle \mathit{ADC}=\frac{3}{5}$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{CF}=\mathit{ED}=n$，直接写出 $\mathit{AD}$的长（用含 $n$的式子表示）

已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$， $D$是边 $\mathit{AB}$上一动点 $(A$、 $B$两点除外），将 $\mathit{\Delta CAD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转角 $\alpha$得到 $\mathit{\Delta CEF}$，其中点 $E$是点 $A$的对应点，点 $F$是点 $D$的对应点．

（1）如图1，当 $\alpha =90°$时， $G$是边 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{BG}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{GF}$．求证： $\mathit{GF}//\mathit{AC}$；

（2）如图2，当 $90°⩽\alpha ⩽180°$时， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $M$．

①当点 $M$与点 $C$、 $D$不重合时，连接 $\mathit{CM}$，求 $\angle \mathit{CMD}$的度数；

②设 $D$为边 $\mathit{AB}$的中点，当 $\alpha$从 $90°$变化到 $180°$时，求点 $M$运动的路径长．

已知： $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，延长 $\mathit{AB}$ 到点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$ ．

（1）求 $\angle P$ 的度数；

（2）若点 $D$ 是弧 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，且 $\mathit{DE}·\mathit{DC}=20$ ，求 $\odot O$ 的面积． $(\pi$ 取 $3.14)$

如图（1），已知点 $G$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{GE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $\mathit{CEGF}$是正方形；

②推断： $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BE}}$的值为　     　

（2）探究与证明：

将正方形 $\mathit{CEGF}$绕点 $C$顺时针方向旋转 $\alpha$角 $(0°<\alpha <45°)$，如图（2）所示，试探究线段 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $\mathit{CEGF}$在旋转过程中，当 $B$， $E$， $F$三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于点 $H$．若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{GH}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}=$　    　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $P$为 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{PA}$，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ADB}$．

（1）求证： $\mathit{PA}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{PB}$长；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $D$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{AE}$为直径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{BE}$的长．

直线 $y=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y=\frac{6}{x}(x>0)$ 的图象分别交于点 $A(m,3)$ 和点 $B(6,n)$ ，与坐标轴分别交于点 $C$ 和点 $D$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 的解析式；

（2）若点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $\mathit{\Delta COD}$ 与 $\mathit{\Delta ADP}$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=5$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CO}\perp \mathit{AB}$于点 $O$， $D$是线段 $\mathit{OB}$上一点， $\mathit{DE}=2$， $\mathit{ED}//\mathit{AC}(\angle \mathit{ADE}<90°)$，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$的中点分别为 $P$、 $Q$．

（1）求 $\mathit{AO}$的长；

（2）求 $\mathit{PQ}$的长；

（3）设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$的交点为 $M$，请直接写出 $|\mathit{PM}-\mathit{MQ}|$的值．