初中数学旋转的性质计算题

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$， $B$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）试求 $A$， $B$， $C$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $\mathit{AB}$中点 $M$旋转 $180°$，得到 $\mathit{\Delta BAD}$．

①求点 $D$的坐标；

②判断四边形 $\mathit{ADBC}$的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BMP}$与 $\mathit{\Delta BAD}$相似？若存在，请直接写出所有满足条件的 $P$点的坐标；若不存在，请说明理由．

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．

问题背景：

如图①，在四边形 $\mathit{ADBC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，探究线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $\mathit{\Delta BCD}$绕点 $D$，逆时针旋转 $90°$到 $\mathit{\Delta AED}$处，点 $B$， $C$分别落在点 $A$， $E$处（如图② $)$，易证点 $C$， $A$， $E$在同一条直线上，并且 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，所以 $\mathit{CE}=\sqrt{2}\mathit{CD}$，从而得出结论： $\mathit{AC}+\mathit{BC}=\sqrt{2}\mathit{CD}$．

简单应用：

（1）在图①中，若 $\mathit{AC}=\sqrt{2}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}=$　　．

（2）如图③， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot$上， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$，求 $\mathit{CD}$的长．

拓展规律：

（3）如图④， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，若 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n(m<n)$，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）

（4）如图⑤， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$为 $\mathit{AB}$的中点，若点 $E$满足 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $Q$为 $\mathit{AE}$的中点，则线段 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AC}$的数量关系是　　．