初中数学二次函数与不等式（组）解答题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}$与直线 $y=-x+b$相交于点 $A(2,0)$和点 $B$．

（1）求 $m$和 $b$的值；

（2）求点 $B$的坐标，并结合图象写出不等式 $x^2+\mathit{mx}>-x+b$的解集；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{AB}$上的一个动点，将点 $M$向左平移3个单位长度得到点 $N$，若线段 $\mathit{MN}$与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$的横坐标 $x_M$的取值范围．

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式： $x^2﹣5x＞0$．

解：设 $x^2﹣5x＝0$，解得： $x_1＝0，x_2＝5$，则抛物线 $y＝x^2﹣5x$与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数 $y＝x^2﹣5x$的大致图象（如图所示），由图象可知：当 $x＜0$，或 $x＞5$时函数图象位于x轴上方，此时 $y＞0$，即 $x^2﹣5x＞0$，所以，一元二次不等式 $x^2﹣5x＞0$的解集为： $x＜0$，或 $x＞5$．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）

①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想

（2）一元二次不等式 $x^2﹣5x＜0$的解集为　   ．

（3）用类似的方法解一元二次不等式： $x^2﹣2x﹣3＞0$．

小云在学习过程中遇到一个函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x⩾-2)$ ．

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当 $-2⩽x<0$ 时，对于函数 $y_1=\left|x\right|$ ，即 $y_1=-x$ ，当 $-2⩽x<0$ 时， $y_1$ 随 $x$ 的增大而 　　，且 $y_1>0$ ；对于函数 $y_2=x^2-x+1$ ，当 $-2⩽x<0$ 时， $y_2$ 随 $x$ 的增大而 　　，且 $y_2>0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $-2⩽x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而 　　．

（2）当 $x⩾0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x⩾0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

$x$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

结合上表，进一步探究发现，当 $x⩾0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，画出当 $x⩾0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（3）过点 $(0$ ， $m\left)\right(m>0)$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x⩾-2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是 　　．

如图，二次函数的图象与轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．