初中数学二次函数的三种形式试题

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $A$在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴上，点 $C(3,1)$，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}-\frac{3}{2}$的图象经过点 $C$．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y=a{(x-h)}^2+k$的形式；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $x$轴正方向平移，当点 $B$落在抛物线上时，求 $\mathit{\Delta ABC}$扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$的点 $P$，使 $\mathit{\Delta ABP}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图， 点 $A$， $B$， $C$都在抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{amx}+a{m}^2+2m-5$（其 中 $-\frac{1}{4}<a<0)$上， $\mathit{AB}//x$轴， $\angle \mathit{ABC}=135°$，且 $\mathit{AB}=4$．

（1） 填空： 抛物线的顶点坐标为　　（用 含 $m$的代数式表示） ；

（2） 求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积 （用 含 $a$的代数式表示） ；

（3） 若 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 2 ，当 $2m-5⩽x⩽2m-2$时， $y$的最大值为 2 ，求 $m$的值 ．