初中数学二次函数图象与系数的关系解答题

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+a$， $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$， $b$是实数， $a\ne 0)$．

（1）若函数 $y_1$的对称轴为直线 $x=3$，且函数 $y_1$的图象经过点 $(a,b)$，求函数 $y_1$的表达式．

（2）若函数 $y_1$的图象经过点 $(r,0)$，其中 $r\ne 0$，求证：函数 $y_2$的图象经过点 $(\frac{1}{r}$， $0)$．

（3）设函数 $y_1$和函数 $y_2$的最小值分别为 $m$和 $n$，若 $m+n=0$，求 $m$， $n$的值．

已知二次函数图象的顶点坐标为，该二次函数图象的对称轴与轴的交点为，是这个二次函数图象上的点，是原点．

（1）不等式是否成立？请说明理由；

（2）设是的面积，求满足的所有点的坐标．

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x₁-x₂|=；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线 $\mathit{AC}$，将射线 $\mathit{AC}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$交抛物线于另一点 $D$，在射线 $\mathit{AD}$上是否存在一点 $H$，使 $\mathit{\Delta CHB}$的周长最小．若存在，求出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点 $Q$为抛物线的顶点，点 $P$为射线 $\mathit{AD}$上的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$，过点 $P$作 $x$轴的垂线 $l$，垂足为 $E$，点 $P$从点 $A$出发沿 $\mathit{AD}$方向运动，直线 $l$随之运动，当 $-2<t<1$时，直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCQ}$分割成左右两部分，设在直线 $l$左侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数表达式．