初中数学反比例函数的性质解答题

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 图象上的一个动点，连结 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AO}$ 的延长线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$ 的图象于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AE}\perp y$ 轴于点 $E$ ．

（1）如图1，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp x$ 轴，于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．

①若 $k=1$ ，求证：四边形 $\mathit{AEFO}$ 是平行四边形；

②连结 $\mathit{BE}$ ，若 $k=4$ ，求 $\mathit{\Delta BOE}$ 的面积．

（2）如图2，过点 $E$ 作 $\mathit{EP}//\mathit{AB}$ ，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$ 的图象于点 $P$ ，连结 $\mathit{OP}$ ．试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点 $A$ 在运动过程中， $\mathit{\Delta POE}$ 的面积是否会发生变化？请说明理由．

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$ 　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．