初中数学

探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) ,可通过构造直角三角形利用图1得到结论: P 1 P 2 = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 他还利用图2证明了线段 P 1 P 2 的中点 P ( x , y ) P 的坐标公式: x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2

(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;

运用:(2)①已知点 M ( 2 , 1 ) N ( 3 , 5 ) ,则线段 MN 长度为  

②直接写出以点 A ( 2 , 2 ) B ( 2 , 0 ) C ( 3 , 1 ) D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标:  

拓展:(3)如图3,点 P ( 2 , n ) 在函数 y = 4 3 x ( x 0 ) 的图象 OL x 轴正半轴夹角的平分线上,请在 OL x 轴上分别找出点 E F ,使 ΔPEF 的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.

来源:2017年四川省达州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.

探究一:求不等式 | x 1 | < 2 的解集

(1)探究 | x 1 | 的几何意义

如图①,在以 O 为原点的数轴上,设点 A ' 对应的数是 x 1 ,由绝对值的定义可知,点 A ' 与点 O 的距离为 | x 1 | ,可记为 A ' O = | x 1 | .将线段 A ' O 向右平移1个单位得到线段 AB ,此时点 A 对应的数是 x ,点 B 对应的数是1.因为 AB = A ' O ,所以 AB = | x 1 | .因此, | x 1 | 的几何意义可以理解为数轴上 x 所对应的点 A 与1所对应的点 B 之间的距离 AB

(2)求方程 | x 1 | = 2 的解

因为数轴上3和 1 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3, 1

(3)求不等式 | x 1 | < 2 的解集

因为 | x 1 | 表示数轴上 x 所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 x 的范围.

请在图②的数轴上表示 | x 1 | < 2 的解集,并写出这个解集.

探究二:探究 ( x a ) 2 + ( y b ) 2 的几何意义

(1)探究 x 2 + y 2 的几何意义

如图③,在直角坐标系中,设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,过 M MP x 轴于 P ,作 MQ y 轴于 Q ,则 P 点坐标为 ( x , 0 ) Q 点坐标为 ( 0 , y ) OP = | x | OQ = | y | ,在 Rt Δ OPM 中, PM = OQ = | y | ,则 MO = O P 2 + P M 2 = | x | 2 + | y | 2 = x 2 + y 2 ,因此, x 2 + y 2 的几何意义可以理解为点 M ( x , y ) 与点 O ( 0 , 0 ) 之间的距离 MO

(2)探究 ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 的几何意义

如图④,在直角坐标系中,设点 A ' 的坐标为 ( x 1 , y 5 ) ,由探究二(1)可知, A ' O = ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 ,将线段 A ' O 先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段 AB ,此时点 A 的坐标为 ( x , y ) ,点 B 的坐标为 ( 1 , 5 ) ,因为 AB = A ' O ,所以 AB = ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 ,因此 ( x 1 ) 2 + ( y 5 ) 2 的几何意义可以理解为点 A ( x , y ) 与点 B ( 1 , 5 ) 之间的距离 AB

(3)探究 ( x + 3 ) 2 + ( y 4 ) 2 的几何意义

请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.

(4) ( x a ) 2 + ( y b ) 2 的几何意义可以理解为:  

拓展应用:

(1) ( x 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 + ( y + 5 ) 2 的几何意义可以理解为:点 A ( x , y ) 与点 E ( 2 , 1 ) 的距离和点 A ( x , y ) 与点 F   (填写坐标)的距离之和.

(2) ( x 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 + ( y + 5 ) 2 的最小值为  (直接写出结果)

来源:2017年山东省青岛市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

特例感知

(1)如图1,对于抛物线,下列结论正确的序号是  

①抛物线都经过点

②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到;

③抛物线与直线的交点中,相邻两点之间的距离相等.

形成概念

(2)把满足为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用

在(2)中,如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为,用含的代数式表示顶点的坐标,并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式;

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:,其横坐标分别为为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.

③在②中,直线分别交“系列平移抛物线”于点,连接,判断是否平行?并说明理由.

来源:2019年江西省中考数学试卷
  • 更新:2021-01-03
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学两点间的距离公式解答题