已知二次函数 y = x 2 ﹣( 2 k + 1 ) x + k 2 + k ( k > 0 )
(1)当 k = 1 2 时,求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求证:关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根;
(3)如图,该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,P是y轴负半轴上一点,且 OP = 1 ,直线AP交BC于点Q,求证: 1 O A 2 + 1 A B 2 = 1 A Q 2 .
已知二次函数 y = a x 2 + bx + c ( a > 0 )
(1)若 a = 1 , b = - 2 , c = - 1
①求该二次函数图象的顶点坐标;
②定义:对于二次函数 y = p x 2 + qx + r ( p ≠ 0 ) ,满足方程 y = x 的 x 的值叫做该二次函数的"不动点".求证:二次函数 y = a x 2 + bx + c 有两个不同的"不动点".
(2)设 b = 1 2 c 3 ,如图所示,在平面直角坐标系 Oxy 中,二次函数 y = a x 2 + bx + c 的图象与 x 轴分别相交于不同的两点 A ( x 1 , 0 ) , B ( x 2 , 0 ) ,其中 x 1 < 0 , x 2 > 0 ,与 y 轴相交于点 C ,连结 BC ,点 D 在 y 轴的正半轴上,且 OC = OD ,又点 E 的坐标为 ( 1 , 0 ) ,过点 D 作垂直于 y 轴的直线与直线 CE 相交于点 F ,满足 ∠ AFC = ∠ ABC . FA 的延长线与 BC 的延长线相交于点 P ,若 PC PA = 5 5 a 2 + 1 ,求二次函数的表达式.