初中数学有理数的混合运算填空题

如图，某学校"桃李餐厅"把 $\mathit{WIFI}$ 密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了"桃李餐厅"的网络．那么她输入的密码是 　　．

定义一种新的运算： $x*y=\frac{x+2y}{x}$，如： $3*1=\frac{3+2\times 1}{3}=\frac{5}{3}$，则 $（2*3）*2＝$　　．

根据下列材料，解答问题．

等比数列求和：

概念：对于一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots a_n\dots (n$为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即 $\frac{a_k}{a_{k-1}}=q$（常数），那么这一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$， $a_n$， $\dots$成等比数列，这一常数 $q$叫做该数列的公比．

例：求等比数列1，3， $3^2$， $3^3$， $\dots$， $3^{100}$的和，

解：令 $S=1+3+3^2+3^3+\dots +3^{100}$

则 $3S=3+3^2+3^3+\dots +3^{100}+3^{101}$

因此， $3S-S=3^{101}-1$，所以 $S=\frac{3^{101}-1}{2}$

即 $1+3+3^2+3^3\dots +3^{100}=\frac{3^{101}-1}{2}$

仿照例题，等比数列1，5， $5^2$， $5^3$， $\dots$， $5^{2018}$的和为　　．

阅读理解：引入新数 ，新数 满足分配律，结合律，交换律，已知 ，那么 　　．

按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是　   　．

已知＋＝0，则    ．

探究：观察下列各式，，，…请你根据以上式子的规律填写： =           ．

定义新运算： $a$※ $b=a^2+b$，例如3※ $2=3^2+2=11$，已知4※ $x=20$，则 $x=$　　．

探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．

定义：若a是不为1的有理数，则为a的差倒数．如：2的差倒数是；－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，a₂₀₁₂的差倒数a₂₀₁₃=      ．

计算：　　．

定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知a₁＝，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₄＝_______．

观察下列等式：

$\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\dots$

请按上述规律，写出第 $n$个式子的计算结果 $(n$为正整数）　   　．（写出最简计算结果即可）

根据下列各式的规律，在横线处填空：

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$， $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$， $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$， $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}\dots$， $\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}-$　　 $=\frac{1}{2017\times 2018}$

计算：　　．