如图，已知直线 $l:y=\mathit{kx}+2(k<0)$，与 $y$轴交于点 $A$，与 $x$轴交于点 $B$，以 $\mathit{OA}$为直径的 $\odot P$交 $l$于另一点 $D$，把弧 $\mathit{AD}$沿直线 $l$翻转后与 $\mathit{OA}$交于点 $E$.

（1）当 $k=-2$时，求 $\mathit{OE}$的长;

（2）是否存在实数 $k(k<0)$，使沿直线 $l$把弧 $\mathit{AD}$翻转后所得的弧与 $\mathit{OA}$相切?若存在，请求出此时 $k$的值;若不存在，请说明理由.