甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1·q1和p2·q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) .
已知椭圆()的两个焦点分别为,点P在椭圆上,且满足,,直线与圆相切,与椭圆相交于A,B两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)证明为定值(O为坐标原点)
如图,在长方体中,,且. (Ⅰ)求证:对任意,总有; (Ⅱ)若,求二面角的余弦值; (Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
已知,若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和. (Ⅰ)求和的解析式; (Ⅱ)若和在区间上都是减函数,求的取值范围.
在△ABC中, a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知,△ABC的面积为,又. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)求a+b的值.
已知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)若关于的方程有三个不同实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)若函数的图象与坐标轴无交点,求实数的取值范围.