若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根，则

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度未知
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若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．现已知一元二次方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ．

（1）若 $m = 2$ ， $n = - 4$ ，求 $p$ ， $q$ 的值；

（2）若 $p = 3$ ， $q = - 1$ ，求 $m + mn + n$ 的值．

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如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 的延长线上一点， $∠ DCB = ∠ OAC$ ．过圆心 $O$ 作 $BC$ 的平行线交 $DC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CD = 4$ ， $CE = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $\tan ∠ OCB$ 的值．

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等级	成绩 $x$
$A$	$50 ⩽ x < 60$
$B$	$60 ⩽ x < 70$
$C$	$70 ⩽ x < 80$
$D$	$80 ⩽ x < 90$
$E$	$90 ⩽ x ⩽ 100$

（1）本次调查一共随机抽取了　　名学生的成绩，频数分布直方图中 $m =$ 　　；

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）所抽取学生成绩的中位数落在　　等级；

（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

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一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．

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如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年 $(1535$ 年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2，宝塔 $CD$ 垂直于地面，在地面上选取 $A$ ， $B$ 两处分别测得 $∠ CAD$ 和 $∠ CBD$ 的度数 $(A$ ， $D$ ， $B$ 在同一条直线上）．

数据收集：通过实地测量：地面上 $A$ ， $B$ 两点的距离为 $58 m$ ， $∠ CAD = 42 °$ ， $∠ CBD = 58 °$ ．

问题解决：求宝塔 $CD$ 的高度（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90$ ， $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60$ ．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

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