在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.(\alpha$为参数），以坐标原点为极点，以 $x$轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$．

（1）写出 $C_1$的普通方程和 $C_2$的直角坐标方程；

（2）设点 $P$在 $C_1$上，点 $Q$在 $C_2$上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$的最小值及此时 $P$的直角坐标．