2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格（元 $/$ 只）

项目

甲

乙

成本

售价

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

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小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y = \frac{x - 2}{x} (x \neq 0)$ 的图象与性质进行探究．

因为 $y = \frac{x - 2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$ ，即 $y = - \frac{2}{x} + 1$ ，所以可以对比函数 $y = - \frac{2}{x}$ 来探究．

列表：（1）下表列出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，请写出 $m$ ， $n$ 的值： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y = - \frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$\dots$
$y = \frac{x - 2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	$m$	$- 3$	$- 1$	0	$n$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 的取值为横坐标，以 $y = \frac{x - 2}{x}$ 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$ 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y = \frac{x - 2}{x}$ 的图象是由 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象向　　平移　　个单位而得到．

③函数图象关于点　　中心对称．（填点的坐标）

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（1）王老师采取的调查方式是　　（填"普查"或"抽样调查" $)$ ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示 $C$ 班的扇形圆心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

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（1）求抛物线及直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $FA + FC$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $FA + FC$ 的最小值；

（3）连接 $AC$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $BC$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $Rt Δ PEQ$ ，且满足 $\tan ∠ EQP = \tan ∠ OCA$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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