【基础巩固】（1）如图1，在ΔABC中，D为AB上一点，∠A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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【基础巩固】

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $D$ 为 $AB$ 上一点， $∠ ACD = ∠ B$ ．求证： $A C^{2} = AD \cdot AB$ ．

【尝试应用】

（2）如图2，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $BC$ 上一点， $F$ 为 $CD$ 延长线上一点， $∠ BFE = ∠ A$ ．若 $BF = 4$ ， $BE = 3$ ，求 $AD$ 的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AB$ 上一点， $F$ 是 $ΔABC$ 内一点， $EF / / AC$ ， $AC = 2 EF$ ， $∠ EDF = \frac{1}{2} ∠ BAD$ ， $AE = 2$ ， $DF = 5$ ，求菱形 $ABCD$ 的边长．

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 经过点 $A (2, 0)$ 、 $B (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 $ABPC$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，线段 $AC$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $E$ ，垂足为 $D$ ， $M$ 为抛物线的顶点，在直线 $DE$ 上是否存在一点 $G$ ，使 $ΔCMG$ 的周长最小？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）问题发现

①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{AE}{BD} =$ 　　；

②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{AE}{BD} =$ 　　．

（2）拓展探究

试判断：当 $0 ° ⩽ α < 360 °$ 时， $\frac{AE}{BD}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

$ΔCDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A$ 、 $B$ 、 $E$ 三点在同一条直线上时，求线段 $BD$ 的长．

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（1）求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）求直线 $AC$ 的解析式．

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（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，求图中阴影部分的面积．

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