如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图1，地面 $BD$ 上两根等长立柱 $AB$ ， $CD$ 之间悬挂一根近似成抛物线 $y = \frac{1}{10} x^{2} - \frac{4}{5} x + 3$ 的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $AB$ 为3米的位置处用一根立柱 $MN$ 撑起绳子（如图 $2)$ ，使左边抛物线 $F_{1}$ 的最低点距 $MN$ 为1米，离地面1.8米，求 $MN$ 的长；

（3）将立柱 $MN$ 的长度提升为3米，通过调整 $MN$ 的位置，使抛物线 $F_{2}$ 对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$ ，设 $MN$ 离 $AB$ 的距离为 $m$ ，抛物线 $F_{2}$ 的顶点离地面距离为 $k$ ，当 $2 ⩽ k ⩽ 2.5$ 时，求 $m$ 的取值范围．

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①如图1，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点共线时， $CD$ 与 $DF$ 之间的数量关系为　　．

②如图2，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

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