如图①，已知抛物线yax2bxc的图象经过点A(0,3)、B

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图①，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (0, 3)$ 、 $B (1, 0)$ ，其对称轴为直线 $l : x = 2$ ，过点 $A$ 作 $AC / / x$ 轴交抛物线于点 $C$ ， $∠ AOB$ 的平分线交线段 $AC$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点 $P$ 在直线 $OE$ 下方的抛物线上，连接 $PE$ 、 $PO$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $AOPE$ 面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②， $F$ 是抛物线的对称轴 $l$ 上的一点，在抛物线上是否存在点 $P$ 使 $ΔPOF$ 成为以点 $P$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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小明的作图步骤如下：
第一步：连结AC；
第二步：过点B作BE//AC交DC的延长线于点E；
第三步：取ED中点F，作直线AF；
则直线AF即为所求.
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形ABOCD，各顶点坐标为：A(3,4)，B(0,2)，O(0,0)，C(4,0)，D(4,2).请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.

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难度：未知

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